🔦光的干涉中的近似
2025-6-11
| 2025-7-1
字数 1190阅读时长≈ 3 分钟
人教版选择性必修第一册 P97：
notion image
 

角度 θ\theta 的近似

在国家中小学智慧教育平台的网课中，∠P1OP0\angle P_{1}OP_{0} 被认为等于角度 θ\theta，所以才能推出：
x=ltan⁡θ≈lsin⁡θx = l\tan \theta \approx l\sin \theta
但是根据三角形全等或相似，都无法证明 ∠P1OP0=θ\angle P_{1}OP_{0}=\theta。个人认为可这样近似推导：
作 P0P2=d/2P_{0}P_{2} = d/2，则 P1P2=x+d/2P_{1}P_{2} = x + d/2。上图中并未标出 P2P_2 的位置。
在 △P1S2P2\triangle{P_1 S_2 P_2} 中，∠P1S2P2=θ\angle{P_1 S_2 P_2} = \theta。
sin∠P1S2P2=sinθ=x+d/2lsin\angle{P_1 S_2 P_2} = sin\theta = \frac{x+d/2}{l}∵d<<l\because d<<l∴d/2l≈0\therefore \frac{d/2}{l} \approx 0∴sin∠P1S2P2=sinθ≈xl=sin∠P1OP0\therefore sin\angle{P_1 S_2 P_2} = sin \theta \approx \frac{x}{l} = sin\angle{P_1 O P_0}∴∠P1OP0=θ\therefore \angle{P_1 O P_0} = \theta
 

三重近似推导

Young氏双缝干涉实验近似公式推导的传统谬误_杨氏双缝干涉基本公式-CSDN博客
文章浏览阅读1.7w次，点赞12次，收藏30次。背景一直不爽的教材里的“近似”，不但中学教材里面有，大学教材里面也有。我的所谓“不爽”，主要是对公式的“近似”的属性不满，觉得科学规律或定理都应该是严格解析、分毫不爽的；但是事实往往是，实际科学实验中不但有误差，理论上大部分公式取近似也往往是合理的。案例这里先说中学物理教材里面讲波动光学中的“双缝干涉”时候的一种近似。其实写这个案例之前，我的本意是推导一遍、复习一下；我读中学的时候一直觉得这个推导不_杨氏双缝干涉基本公式
Young氏双缝干涉实验近似公式推导的传统谬误_杨氏双缝干涉基本公式-CSDN博客
https://blog.csdn.net/stereohomology/article/details/77049628
作 P0P2=d/2P_{0}P_{2} = d/2，则 P1P2=x+d/2P_{1}P_{2} = x + d/2。上图中并未标出 P2P_2 的位置。
在 △P1S2P2\triangle{P_1 S_2 P_2} 中，∠P1S2P2=θ\angle{P_1 S_2 P_2} = \theta
sin∠P1S2P2=sinθ=x+d/2lsin\angle{P_1 S_2 P_2} = sin\theta = \frac{x+d/2}{l}
一重近似：
∵l≫d,∴δ≈d⋅sin⁡θ\because l \gg d, \quad \therefore \delta \approx d \cdot \sin \theta
二重近似：
∵x≫d2,∴tan⁡θ=x+d2l≈xl\because x \gg \frac{d}{2}, \quad \therefore \tan \theta = \frac{x + \frac{d}{2}}{l} \approx \frac{x}{l}
三重近似：
∵θ≈0,∴xl≈tan⁡θ≈sin⁡θ\because \theta \approx 0, \quad \therefore \frac{x}{l} \approx \tan \theta \approx \sin \theta
综上：
k⋅λ=δ≈xld⟹x≈k⋅λ⋅ldk \cdot \lambda = \delta \approx \frac{x}{l}d \Longrightarrow x \approx k \cdot \lambda \cdot \frac{l}{d}
 

求解一元二次方程推导

r2=(x+d2)2+l2r_2 = \sqrt{\left(x + \frac{d}{2}\right)^2 + l^2}r1=(x−d2)2+l2r_1 = \sqrt{\left(x - \frac{d}{2}\right)^2 + l^2}
当光程差 δ\delta 等于光波波长 λλ 的整数倍时，两列波在 PP 点同相加强，出现亮条纹，
r2−r1=l2+(x+d2)2−l2+(x−d2)2=k⋅λr_2 - r_1 = \sqrt{l^2 + \left(x + \frac{d}{2}\right)^2} - \sqrt{l^2 + \left(x - \frac{d}{2}\right)^2} = k \cdot \lambda
移项：
l2+(x+d2)2=k⋅λ+l2+(x−d2)2\sqrt{l^2 + \left(x + \frac{d}{2}\right)^2} = k \cdot \lambda + \sqrt{l^2 + \left(x - \frac{d}{2}\right)^2}
两边同时平方：
l2+(x+d2)2=k2λ2+l2+(x−d2)2+2k⋅λl2+(x−d2)2l^2 + \left(x + \frac{d}{2}\right)^2 = k^2 \lambda^2 + l^2 + \left(x - \frac{d}{2}\right)^2 + 2k \cdot \lambda \sqrt{l^2 + \left(x - \frac{d}{2}\right)^2}
整理并把带根号的项单独放在右侧：
2xd−k2λ2=2k⋅λl2+(x−d2)22xd - k^2 \lambda^2 = 2k \cdot \lambda \sqrt{l^2 + \left(x - \frac{d}{2}\right)^2}
两边再取平方得到关于 xx 的一元二次方程仅含二次型和常数项：
x2(4d2−4k2λ2)=4k2λ2l2+d2k2λ2−k4λ4x^2 (4d^2 - 4k^2 \lambda^2) = 4k^2 \lambda^2 l^2 + d^2 k^2 \lambda^2 - k^4 \lambda^4
得到：
x=±k⋅λ⋅4l2+d2−k2λ24d2−4k2λ2x=\pm k \cdot \lambda \cdot \sqrt{\frac{4l^2+d^2-k^2\lambda^2}{4d^2-4k^2\lambda^2}}
以下为近似，当 kk 的绝对值不是很大的时候：（偏离屏幕中心越远、近似公式误差越大；但是在教材推导的假设中不能体现这一点）
  1. 当 kk 值不是很大时，在屏幕中心附近的适当范围内：
  1. 分母：因为 λ<<d\lambda << d，所以 4d2−4k2λ2≈4d24d^2-4k^2\lambda^2 \approx 4d^2，
  1. 分子：因为 λ<<d<<l\lambda << d<<l，所以 4l2+d2−k2λ2≈4l24l^2+d^2-k^2\lambda^2 \approx 4l^2，
所以：
x≈±k⋅λ⋅ldx \approx \pm k \cdot \lambda \cdot \frac{l}{d}
 

平方差推导

双缝干涉条纹间距公式的推导 - 百度文库
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双缝干涉条纹间距公式的推导 - 百度文库
https://wenku.baidu.com/view/c300d6da5022aaea998f0fb3.html?_wkts_=1751035567091
r22=(x+d2)2+l2r_2^2 = \left(x + \frac{d}{2}\right)^2 + l^2 r12=(x−d2)2+l2r_1^2 = \left(x - \frac{d}{2}\right)^2 + l^2r22−r12=(x+d2)2−(x−d2)2=2dxr_2^2 - r_1^2 = \left(x + \frac{d}{2}\right)^2 - \left(x - \frac{d}{2}\right)^2 = 2dx(r2+r1)(r2−r1)=2dx(r_2 + r_1)(r_2 - r_1) = 2dx
由于 d<<ld<<l，x<<lx<<l，因此 r2+r1≈2lr_2 + r_1 \approx 2l
所以 δ=r2−r1=2dx2l\delta = r_2 - r_1 = \frac{2dx}{2l}，即：δ=dlx\delta = \frac{d}{l}x
当光程差 δ\delta 等于光波波长 λλ 的整数倍时，两列波在 PP 点同相加强，出现亮条纹，
即 δ=dlx=kλ(k=0,±1,±2,±3,…) \delta = \frac{d}{l}x = k\lambda \qquad (k=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots)
则 x=kldλ(k=0,±1,±2,±3,…)x = k\frac{l}{d}\lambda \qquad(k=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots)
所以 Δx=xk+1−xk=(k+1)ldλ−kldλ=ldλ\Delta x = x_{k+1} - x_k = (k + 1)\frac{l}{d}\lambda - k\frac{l}{d}\lambda = \frac{l}{d}\lambda
即 Δx=ldλ\Delta x = \frac{l}{d}\lambda
当光程差 δ\delta 等于光波半波长 λ2\frac{\lambda}{2} 的奇数数倍时，两列波在 PP 点反相减弱，出现暗条纹，
即 δ=dlx=(2k+1)λ2(k=0,±1,±2,±3,…)\delta = \frac{d}{l}x = (2k + 1)\frac{\lambda}{2} \qquad (k=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots)
则 x=(2k+1)ld⋅λ2(k=0,±1,±2,±3,…)x = (2k + 1)\frac{l}{d} \cdot \frac{\lambda}{2} \qquad (k=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots)
所以 Δx=xk+1−xk=(2k+3)ld⋅λ2−(2k+1)ld⋅λ2=ldλ\Delta x = x_{k+1} - x_k = (2k + 3)\frac{l}{d} \cdot \frac{\lambda}{2} - (2k + 1)\frac{l}{d} \cdot \frac{\lambda}{2} = \frac{l}{d}\lambda
即 Δx=ldλ \Delta x = \frac{l}{d}\lambda
根据计算 Δx \Delta x 两式可知：相邻两条明条纹（或暗条纹）间距均为 Δx=ldλ\Delta x = \frac{l}{d} \lambda，而 ll、dd 和 λ\lambda 都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的。
在双缝干涉实验中若入射光为白光，则中央明条纹（白色）的两侧出现彩色条纹，且靠近中央明条纹的是紫光。
另外在研究双缝干涉现象时，一般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少，这是因为从光的能量角度讲，从明条纹到暗条纹衔接处，是连续变化的，没有分界线。
 

Reference

大学物理·第11章【光学】_大学物理光学-CSDN博客
文章浏览阅读1.4w次，点赞33次，收藏216次。光是一种电磁波。_大学物理光学
大学物理·第11章【光学】_大学物理光学-CSDN博客
https://blog.csdn.net/qq_61786525/article/details/127939907
实验：用双缝干涉测量光的波长
实验目的
实验：用双缝干涉测量光的波长
http://www.myliushu.com/2981.html
 

PS

本文章借助 商量 完成。
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