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date
Oct 4, 2025 → Oct 9, 2025
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how-to-find-acceleration-from-ticker-tape-using-successive-differences
summary
如何通过计数点的瞬时速度与加速度的定义式，求加速度。
tags
physics
category
K12
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一、纸带参数与绘制（计数点时间间隔 ）
（一）核心参数
计数点编号 | 相邻计数点间距 | 单位 | 备注 |
0-1 | cm | 每 5 个打点取 1 个计数点， | |
1-2 | cm | 匀加速运动， | |
2-3 | cm | - | |
3-4 | cm | - | |
4-5 | cm | - | |
5-6 | cm | - |
（二）纸带文字示意图
二、逐差法原理（结合加速度定义式）
加速度定义式：，需先通过"中间时刻速度=平均速度"求计数点速度，再对比两种求加速度方法。
核心是 “充分利用所有位移数据，避免误差放大”。
（一）第一步：计算计数点瞬时速度
根据匀变速运动规律，某段时间内平均速度=中间时刻瞬时速度：
- （计数点 1 的速度，对应 0-2 段中间时刻）
- （计数点 2 的速度）
- ，，
（二）第二步：两种求加速度方法对比
直接用"相邻加速度平均法"（数据利用率低）
- 步骤1：计算相邻速度差的加速度
- ，，，
- 步骤2：求加速度的平均（减小误差）
- 关键缺陷：
- 将 的表达式（两段位移平均）代入平均加速度公式，中间项会相互抵消：
- ，仅用到 ，中间的 仍未充分参与计算，数据浪费问题依然存在，误差无法有效减小。
步骤3：代入速度表达式化简
得到规律 ！
标准逐差法（充分利用所有数据）
- 步骤 1：分组位移
- 前 3 段和：；后3段和：
- 步骤 2：求两组中间时刻速度
- 前组中间时刻速度：（对应时刻 ）
- 后组中间时刻速度：（对应时刻 ）
- 步骤 3：代入定义式推导公式
- 时间差 ，故：
- 核心优势：所有 6 个位移数据（）均参与计算，避免数据浪费，显著减小偶然误差。
三、基于每段位移中间时刻速度的逐差法（不推荐）
（一）核心逻辑：用 求每段中间时刻速度
对于纸带上的 6 段位移 （每段对应时间间隔 ），根据匀变速运动中“平均速度=中间时刻瞬时速度” 的规律：
- 每段位移 的平均速度为 ，该速度等于这段位移中间时刻的瞬时速度；
- 由此可得到 6 个瞬时速度及对应时刻，具体如下：
- ，对应 的中间时刻：
- ，对应 的中间时刻：
- ，对应 的中间时刻：
- ，对应 的中间时刻：
- ，对应 的中间时刻：
- ，对应 的中间时刻：
基于上述 6 个速度，采用“间隔 3 个速度求差”的思路计算加速度：
- 第一个加速度：（时间差 ）
- 第二个加速度：（时间差 ）
- 第三个加速度：（时间差 ）
最终取平均加速度：
（二）关键推导：与标准逐差法结果完全一致
将 代入平均加速度公式，展开推导：
而标准逐差法的核心公式为：
两者公式完全相同，说明：你的思路在数学上是标准逐差法的“另一种表述”，同样充分利用了 所有 6 段位移数据，无数据浪费，误差抵消效率一致。
（三）教材不推荐该表述的核心原因：实验操作的“直观性”
尽管结果等价，高中教材更倾向于“先求计数点速度（如 ）”，关键差异在于速度与纸带上“实际标记点”的对应关系：
对比维度 | 你的思路（） | 教材标准方法（） |
速度对应时刻 | 每段位移的中间时刻（如 ） | 纸带上的计数点时刻（如 ） |
纸带上的标记 | 无实际标记点（时刻是抽象的） | 对应实际计数点（如“计数点 1”“计数点 2”） |
实验操作适配性 | 不便于直接记录（需额外推导时刻） | 便于数据记录（计数点可直接标注在纸带上） |
图绘制 | 时刻无对应标记，易混淆 | 计数点时刻与速度直接对应，绘图更准确 |
例如：教材中 对应的是“计数点 1”（纸带上可直接圈出的点），时刻为 ，学生能直观将“速度”与“纸带上的点”绑定；而你的思路中 对应“ 的中间”，纸带上无此标记，初学者易混淆时刻与位置。
四、代入数据计算加速度（）
（一）整理已知数据
（二）计算过程
（三）结果验证
根据匀变速位移差规律 ，取 ，代入得：，与逐差法结果一致，验证正确。
Reference
- 涂超,明丽梅,杨祚彬,钟嬿琪,向华.逐差法求加速度的分析.物理通报,2019,48(A01):25-27.
- 揭华群.由“逐差法”到“中间时刻法”.中学教学参考,2017(29):49-50.
- 顾卓光.基于实验分析的逐差法教学——对一道课本习题的讨论.物理教学探讨,2023,41(5):57-59.
- 沈卫.例谈匀变速直线运动问题中平均速度公式的运用.教学考试,2021(4):57-59.