通过纸带使用逐差法求加速度（不推荐）

一、纸带参数与绘制（计数点时间间隔 $T=0.1\,\text{s}$ ）

（一）核心参数

计数点编号	相邻计数点间距 $x$	单位	备注
0-1	$x_1=0.50$	cm	每 5 个打点取 1 个计数点， $T=0.1\,\text{s}$
1-2	$x_2=0.60$	cm	匀加速运动， $\Delta x=aT^2=0.01\,\text{m}$
2-3	$x_3=0.70$	cm	-
3-4	$x_4=0.80$	cm	-
4-5	$x_5=0.90$	cm	-
5-6	$x_6=1.00$	cm	-

（二）纸带文字示意图

plain


[打点计时器] → 
〇₀ ───x₁─── 〇₁ ───x₂─── 〇₂ ───x₃─── 〇₃ ───x₄─── 〇₄ ───x₅─── 〇₅ ───x₆─── 〇₆
     0.50cm       0.60cm       0.70cm       0.80cm       0.90cm       1.00cm
                     （计数点之间的时间间隔 T=0.1s）

二、逐差法原理（结合加速度定义式）

加速度定义式：

a=\frac{\Delta v}{\Delta t}

，需先通过"中间时刻速度=平均速度"求计数点速度，再对比两种求加速度方法。

核心是 “充分利用所有位移数据，避免误差放大”。

（一）第一步：计算计数点瞬时速度

根据匀变速运动规律，某段时间内平均速度=中间时刻瞬时速度：

$v_1=\frac{x_1+x_2}{2T}$ （计数点 1 的速度，对应 0-2 段中间时刻）

$v_2=\frac{x_2+x_3}{2T}$ （计数点 2 的速度）

$v_3=\frac{x_3+x_4}{2T}$ ， $v_4=\frac{x_4+x_5}{2T}$ ， $v_5=\frac{x_5+x_6}{2T}$

（二）第二步：两种求加速度方法对比

直接用"相邻加速度平均法"（数据利用率低）

步骤1：计算相邻速度差的加速度

$a_{12}=\frac{v_2-v_1}{T}$ ， $a_{23}=\frac{v_3-v_2}{T}$ ， $a_{34}=\frac{v_4-v_3}{T}$ ， $a_{45}=\frac{v_5-v_4}{T}$

步骤2：求加速度的平均（减小误差）

$\bar{a}=\frac{a_{12}+a_{23}+a_{34}+a_{45}}{4}=\frac{v_5-v_1}{4T}$

关键缺陷：

将 $v_1\sim v_5$ 的表达式（两段位移平均）代入平均加速度公式，中间项会相互抵消：

\begin{align*} \bar{a}&=\frac{1}{4T}\left[(v_2-v_1)+(v_3-v_2)+(v_4-v_3)+(v_5-v_4)\right] \\ &=\frac{1}{4T}\left(v_5 - v_1\right) \quad \text{（中间项$v_2、v_3、v_4$全部抵消）} \\ &=\frac{1}{4T}\left( \frac{x_5+x_6}{2T} - \frac{x_1+x_2}{2T} \right) \\ &=\frac{(x_5+x_6)-(x_1+x_2)}{8T^2} \end{align*}

$\bar{a}=\frac{(x_5+x_6)-(x_1+x_2)}{8T^2}$ ，仅用到 $x_6、x_5、x_2、x_1$ ，中间的 $x_3、x_4$ 仍未充分参与计算，数据浪费问题依然存在，误差无法有效减小。

步骤3：代入速度表达式化简

💡

得到规律

a=\frac{x_m-x_n}{(m-n)T^2}

！

标准逐差法（充分利用所有数据）

步骤 1：分组位移

前 3 段和： $X_{\text{前}}=x_1+x_2+x_3$ ；后3段和： $X_{\text{后}}=x_4+x_5+x_6$

步骤 2：求两组中间时刻速度

前组中间时刻速度： $v_{\text{前}}=\frac{X_{\text{前}}}{3T}$ （对应时刻 $t_1=1.5T$ ）
后组中间时刻速度： $v_{\text{后}}=\frac{X_{\text{后}}}{3T}$ （对应时刻 $t_2=4.5T$ ）

步骤 3：代入定义式推导公式

时间差 $\Delta t=t_2-t_1=3T$ ，故：
$a=\frac{v_{\text{后}}-v_{\text{前}}}{\Delta t}=\frac{X_{\text{后}}-X_{\text{前}}}{9T^2}$

核心优势：所有 6 个位移数据（ $x_1\sim x_6$ ）均参与计算，避免数据浪费，显著减小偶然误差。

三、基于每段位移中间时刻速度的逐差法（不推荐）

（一）核心逻辑：用 $\frac{x_n}{T}$ 求每段中间时刻速度

对于纸带上的 6 段位移

x_1 \sim x_6

（每段对应时间间隔

T

），根据匀变速运动中“平均速度=中间时刻瞬时速度” 的规律：

每段位移 $x_n$ 的平均速度为 $\frac{x_n}{T}$ ，该速度等于这段位移中间时刻的瞬时速度；

由此可得到 6 个瞬时速度及对应时刻，具体如下：

$v_1=\frac{x_1}{T}$ ，对应 $x_1$ 的中间时刻： $t_1=0.5T$
$v_2=\frac{x_2}{T}$ ，对应 $x_2$ 的中间时刻： $t_2=1.5T$
$v_3=\frac{x_3}{T}$ ，对应 $x_3$ 的中间时刻： $t_3=2.5T$
$v_4=\frac{x_4}{T}$ ，对应 $x_4$ 的中间时刻： $t_4=3.5T$
$v_5=\frac{x_5}{T}$ ，对应 $x_5$ 的中间时刻： $t_5=4.5T$
$v_6=\frac{x_6}{T}$ ，对应 $x_6$ 的中间时刻： $t_6=5.5T$

基于上述 6 个速度，采用“间隔 3 个速度求差”的思路计算加速度：

第一个加速度： $a_1=\frac{v_6 - v_3}{t_6 - t_3}=\frac{v_6 - v_3}{3T}$ （时间差 $t_6 - t_3=5.5T - 2.5T=3T$ ）

第二个加速度： $a_2=\frac{v_5 - v_2}{t_5 - t_2}=\frac{v_5 - v_2}{3T}$ （时间差 $t_5 - t_2=4.5T - 1.5T=3T$ ）

第三个加速度： $a_3=\frac{v_4 - v_1}{t_4 - t_1}=\frac{v_4 - v_1}{3T}$ （时间差 $t_4 - t_1=3.5T - 0.5T=3T$ ）

最终取平均加速度：

\bar{a}=\frac{a_1 + a_2 + a_3}{3}

（二）关键推导：与标准逐差法结果完全一致

将

v_n=\frac{x_n}{T}

代入平均加速度公式，展开推导：

\begin{align*} \bar{a}&=\frac{1}{3}\left( \frac{\frac{x_6}{T} - \frac{x_3}{T}}{3T} + \frac{\frac{x_5}{T} - \frac{x_2}{T}}{3T} + \frac{\frac{x_4}{T} - \frac{x_1}{T}}{3T} \right) \\ &=\frac{1}{3} \times \frac{(x_6 - x_3) + (x_5 - x_2) + (x_4 - x_1)}{3T^2} \\ &=\frac{(x_4 + x_5 + x_6) - (x_1 + x_2 + x_3)}{9T^2} \end{align*}

而标准逐差法的核心公式为：

a_{\text{标准}}=\frac{(x_4 + x_5 + x_6) - (x_1 + x_2 + x_3)}{9T^2}

两者公式完全相同，说明：你的思路在数学上是标准逐差法的“另一种表述”，同样充分利用了

x_1 \sim x_6

所有 6 段位移数据，无数据浪费，误差抵消效率一致。

（三）教材不推荐该表述的核心原因：实验操作的“直观性”

尽管结果等价，高中教材更倾向于“先求计数点速度（如

v_1=\frac{x_1 + x_2}{2T}

）”，关键差异在于速度与纸带上“实际标记点”的对应关系：

对比维度	你的思路（ $v_n=\frac{x_n}{T}$ ）	教材标准方法（ $v_n=\frac{x_n + x_{n+1}}{2T}$ ）
速度对应时刻	每段位移的中间时刻（如 $0.5T、1.5T$ ）	纸带上的计数点时刻（如 $1T、2T$ ）
纸带上的标记	无实际标记点（时刻是抽象的）	对应实际计数点（如“计数点 1”“计数点 2”）
实验操作适配性	不便于直接记录（需额外推导时刻）	便于数据记录（计数点可直接标注在纸带上）
$v-t$ 图绘制	时刻无对应标记，易混淆	计数点时刻与速度直接对应，绘图更准确

例如：教材中

v_1=\frac{x_1 + x_2}{2T}

对应的是“计数点 1”（纸带上可直接圈出的点），时刻为

t=1T

，学生能直观将“速度”与“纸带上的点”绑定；而你的思路中

v_1=\frac{x_1}{T}

对应“

x_1

的中间”，纸带上无此标记，初学者易混淆时刻与位置。

四、代入数据计算加速度（ $T=0.1\,\text{s}$ ）

（一）整理已知数据

$X_{\text{前}}=0.0050+0.0060+0.0070=0.0180\,\text{m}$

$X_{\text{后}}=0.0080+0.0090+0.0100=0.0270\,\text{m}$

$9T^2=9\times(0.1)^2=0.09\,\text{s}^2$

（二）计算过程

a=\frac{X_{\text{后}}-X_{\text{前}}}{9T^2}=\frac{0.0270-0.0180}{0.09}=\frac{0.0090}{0.09}=1.0\,\text{m/s}^2

（三）结果验证

根据匀变速位移差规律

\Delta x=aT^2

，取

\Delta x=x_2-x_1=0.0010\,\text{m}

，代入得：

a=\frac{0.0010}{(0.1)^2}=1.0\,\text{m/s}^2

，与逐差法结果一致，验证正确。

Reference

中学物理所谓逐差法

有大学物理实验教材介绍逐差法。逐差法本质上是一种加权的最小二乘法[5]。适合这种加权的最小二乘法、适合其他加权的最小二乘法以及适合最小二乘法的情形都需要满足一组特定条件[5]。

https://www.risechina.org/20737

涂超,明丽梅,杨祚彬,钟嬿琪,向华.逐差法求加速度的分析.物理通报,2019,48(A01):25-27.

揭华群.由“逐差法”到“中间时刻法”.中学教学参考,2017(29):49-50.

顾卓光.基于实验分析的逐差法教学——对一道课本习题的讨论.物理教学探讨,2023,41(5):57-59.

沈卫.例谈匀变速直线运动问题中平均速度公式的运用.教学考试,2021(4):57-59.

一、纸带参数与绘制（计数点时间间隔 T=0.1 sT=0.1\,\text{s}T=0.1s）