一、推导特殊情况：动碰静
设定： 以速度 撞击静止的 （即 ），碰后速度分别为 、。
守恒方程：
第1步：动量式移项
第2步：动能式消去 ，用平方差
第3步：(2) ÷ (1)
弹性碰撞碰静物：分离速度 = 接近速度。
第4步：将 (3) 代入 (1)
再代回 (3) 求 ：
二、推导普通情况：动碰动
设定： 速度 ， 速度 （同向或反向均可，代入正负即可），碰后 、。
守恒方程：
第1步：移项整理
第2步：(5) ÷ (4)
即 接近速度 = 分离速度：
第3步：由 (6) 解出
代入动量守恒：
展开：
移项合并：
由对称性（下标 1↔2 互换）直接写出：
三、理解动碰动：碰 加上 碰_2$碰
把上面 的公式拆开看：
同理：
结论：动碰动的结果，恰好可以看作两个独立的"动碰静"过程的线性叠加——
- =（ 主动碰静止 时 的末速度）+（ 主动碰静止 时 的末速度）
- 同理
这体现了弹性碰撞方程的线性可叠加性。
四、另一种理解：以 为参考系，套用动碰静
第1步：变换到 的参考系
在地面系中 以 运动。取 为参考系（即整体减去 ）：
ㅤ | 地面系 | 参考系 |
初速 | ||
初速 |
在 参考系里， 静止，这就变成了动碰静！
第2步：直接套用动碰静公式
在 参考系中，用第一部分的结果：
第3步：变换回地面系（整体加回 ）
展开化简：
同理：
核心思想：换一个惯性参考系，动碰动就退化为动碰静，算完再换回来。这比直接解二元二次方程组要快得多，也不容易出错。
补充理解：关于"接近速度 = 分离速度"
（一）这句话的含义
碰撞前两物体相互靠近的相对速度，等于碰撞后两物体相互远离的相对速度。
用公式写就是：
注意 在前、 在后，因为碰后它们要"分开"。这是从动能守恒与动量守恒联立后得到的直接推论，与两球质量无关——只要碰撞是弹性的，无论 、 取何值，这一关系恒成立。它把原来需要解二次方程的问题，降维成了两个一次方程联立，是弹性碰撞最实用的速算工具。
（二）从参考系变换上看：质心系最直观
取两球的质心参考系（质心速度 ）。
在质心系里：
- 碰前两球相向运动，总动量为零
- 碰后两球反向弹开，总动量仍为零
因为动能也守恒，在质心系里碰撞就像两个球撞在一面"无形的墙"上原速率反弹：
（碰后速度大小不变，方向恰好反向）
变换回地面系时，这个"在质心系中原速率反弹"的性质，就自然体现为：接近速度 = 分离速度。
质心系的视角揭示了一个本质：弹性碰撞在"质心看来"不过是速度反向而已，地面系中看似复杂的交换，只是质心匀速运动叠加上两球相对质心的反转。
PS
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